线性独立性检验的极小极大下界

线性独立性检验是一个基本的信息论与统计问题，可表述如下：给定来自 $p+q$ 维多元分布的 $n$ 个点 $\{(X_i,Y_i)\}^n_{i=1}$，其中 $X_i \in \mathbb{R}^p$，$Y_i \in\mathbb{R}^q$，判定对于任意 $a \in \mathbb{R}^p, b\in \mathbb{R}^q$，$a^T X$ 与 $b^T Y$ 是否不相关。我们给出了该问题的极小极大下界（当 $p+q,n \to \infty$，$(p+q)/n \leq \kappa < \infty$，无稀疏性假设）。总之，我们的结果表明，对于任何具有非平凡功效的过程（检验），$n$ 必须至少与 $\sqrt {pq}/\|\Sigma_{XY}\|_F^2$ 一样大，其中 $\Sigma_{XY}$ 是 $X,Y$ 的互协方差矩阵。我们还通过特定设置下与双样本检验和回归的联系，提供了一些证据表明该下界是紧的。