随机化简 $\mathfrak s\mathfrak l_3$ 网的渐近面分布

我们研究了均匀随机化简 $\mathfrak s\mathfrak l_3$ 网中内部面的分布。利用 Tymoczko 关于 $3\times n$ 标准杨表与化简网之间双射的对应，该问题可重新表述为约束格路及相关 $m$-图的问题。我们发展了一个框架，将 $m$-图中的穿越概率表达为三角格上离散 Dirichlet 问题的解，这些解通过格 Green 函数的解来计算。由此我们获得了每种类型内部面频率的显式极限公式。作为应用，我们分析了距离边界至少为 $d$ 的面。我们证明几乎所有远离边界的内部面都是六边形，而大小为 $6+2k$ 的面以 $O(d^{-2k})$ 的概率出现。