子空间包含图拉普拉斯特征值的渐近行为

设$\text{Fl}_{n,q}$为单纯复形,其顶点为$\mathbb{F}_q^n$的非平凡子空间,其单形对应于构成旗的子空间族。设$\Delta^{+}_k(\text{Fl}_{n,q})$为$\text{Fl}_{n,q}$上的$k$维加权上拉普拉斯算子。$\Delta^{+}_k(\text{Fl}_{n,q})$的谱最早由Garland研究,他给出了其非零特征值的下界。此处我们关注$k=0$的情形。我们确定了当$q$趋于无穷时$\Delta_{0}^{+}(\text{Fl}_{n,q})$特征值的渐近行为。特别地,我们证明了对足够大的$q$,$\Delta_{0}^{+}(\text{Fl}_{n,q})$恰有$\left\lfloor n^2/4\right\rfloor+2$个不同特征值,且$\Delta_{0}^{+}(\text{Fl}_{n,q})$的每个特征值$\lambda\neq 0,n-1$在$q$趋于无穷时趋于$n-2$。这解决了Papikian猜想的$0$维情形。