具有吸收壁的平稳料仓的渐近行为

我们研究珠粒堆积中力涨落的近邻一维均匀 q 模型 [Coppersmith 等 (1996)]，这是一个模拟二维料仓中颗粒介质应力的随机模型。纵坐标起时间的作用，横坐标起空间的作用。该过程是一个状态空间为 $\R^{\{1,...,N\}}$ 的离散时间马尔可夫过程。在每一层（时间），每个颗粒所支撑的重量是其自身重量为均值为一的随机变量加上上一层最近邻颗粒所支撑重量的一些随机分数之和。传递给下一层右邻颗粒的重量分数是一个在 $[0,1]$ 中且与一切独立的均匀随机变量。剩余重量传递给左邻颗粒。在边界处，均匀分数的重量倚靠在料仓壁上。这对应于\emph{吸收边界条件}。对于此模型我们证明存在唯一的不变测度。在不变测度下站点 $i$ 的平均重量为 $i(N+1-i)$；我们证明其方差为 $\frac12(i(N+1-i))^2 + O(N^3)$，且颗粒 $i\neq j$ 之间的协方差为 $O(N^3)$ 阶。此外，当 $N\to\infty$ 时，在不变测度下围绕站点（整数部分）$rN$（$r\in (0,1)$）的重量除以 $N^2$ 后的分布在每点收敛到参数为 2 和 $2(r(1-r))^{-1}$ 的伽马分布之积（两个均值为 $r(1-r)/2$ 的指数分布之和）。Liu 等 (1995) 证明了对于具有无穷多个无重量颗粒的料仓，任何参数为 2 和 $2/\rho$（$\rho\in [0,\infty)$）的伽马分布之积都是不变的。我们的结果表明，随着料仓增大，该模型在每个宏观位置恰好选取这些伽马分布中的一个。