高维稀有事件的渐近分析

理解稀有事件对于从信号处理到可靠性与结构安全、极端天气预报和保险等各个领域都至关重要。稀有事件的分析是一个计算上具有挑战性的问题，尤其是在高维 d 下。在这项工作中，我们发展了第一个高维稀有事件的渐近理论。首先，我们利用第一作者最近开发的渐近积分方法，提供了稀有事件概率的渐近展开。该展开利用了稀有事件边界的几何形状和对数概率密度的局部行为。通常，如果 d^2 ≪ λ，其中 λ 表征事件的极端程度，则该展开有效。我们通过构造一个一阶余项上下界为 d^2/λ 的例子，证明了该条件是必要的。我们还提供了一个非渐近余项界，它明确了余项对 d、λ、密度和边界的精确依赖关系，并表明在某些情况下，条件 d^2 ≪ λ 可以放宽。作为该理论的一个应用，我们推导了高维标准高斯密度下稀有概率的渐近近似。在工作的第二部分，我们提供了以稀有事件为条件的密度的渐近近似。这产生了一个简单的程序，用于使用独立的高斯和指数随机变量近似地从以稀有事件为条件的分布中采样。