非对称可积湍流与导数非线性 Schröding 方程中的 rogue 波统计

我们研究了由导数非线性 Schröding 方程 (DNLS) 中平面波的调制不稳定性 (MI) 引发的非对称可积湍流及其中的 rogue 波 (RW)。平方幂次及样本平均动能和势能在趋于稳态值方面表现出振荡收敛特性。具体而言，这些指标振荡幅值随时间呈渐近衰减，衰减率为 $t^{-1.36}$，而相位偏移则呈非线性衰减，衰减率为 $t^{-0.78}$。这些振荡的频率观察到为 MI 最大增长率的两倍。这些振荡可分为两种类型：一种与样本平均势能模 $|\langle H_4\rangle|$ 同相，另一种则为反相。与此同时，这一统一性同样体现在给定 $k$ 处的波动谱 $S_k(t)$、给定 $x$ 处的自相关函数 $g(x,t)$ 以及给定 $I$ 处的概率密度函数 $P(I,t)$ 中。湍流的关键特征为波动谱，其遵循 $|k+3|^{-\alpha}$ 的幂律分布，除 $k=-3$ 处外。在 DNLS 框架下，湍流呈非对称性，这主要源于 MI 中平面波的波数与扰动波数的非对称性。随着 $S_k$ 的渐近峰值出现在 $k = -3$，自相关函数在 $x \to \pm L/2$ 时表现出非零水平。波强度的 PDF 随时间呈振荡方式逼近指数分布。然而，在非线性阶段的初始阶段，MI 稍微增加了 rogue 波的发生概率。这发生在势能模值处于最小值时，当时 $I\in [12, 15]$ 范围内的 rogue 波发生概率显著高于渐近稳态。