图的拉普拉斯矩阵的算术性质

设 $M \in M_n (\mathbb Z)$ 为任意矩阵。将 $M$ 视为线性映射 $M:{\mathbb Z}^n \to {\mathbb Z}^n$，记 ${\Image}(M)$ 为 $M$ 的列向量生成的 $\mathbb Z$-模。设 $e_1, ..., e_n,$ 为 ${\mathbb Z}^n$ 的标准基，并令 $E_{ij}: = e_i - e_j$，$(i \neq j)$。在本文中，我们关注群 ${\mathbb Z}^n /{\Image}(M)$，特别地关注该群中由向量 $E_{ij}$ 在商映射 ${\mathbb Z}^n \to {\mathbb Z}^n / {\Image} (M)$ 下的像 $\tau_{ij}$ 所定义的元素。本文大部分致力于研究 $M$ 为图的拉普拉斯矩阵的情形。此时元素 $\tau_{ij}$ 具有有限阶，我们研究图的几何结构如何与这些阶相关。对曲线半稳定约化理论的应用将见于后续文章。