Heston模型及相关过程的逼近与正则性结果

本博士论文通过三个相互关联的工作探讨了Heston随机波动率模型的逼近与正则性。第一项工作侧重于为Cox-Ingersoll-Ross（CIR）过程开发高阶弱逼近，该过程对于金融建模至关重要，但由于平方根扩散项阻碍了标准方法而具有挑战性。通过采用基于Alfonsi（2010）二阶方案的随机网格技术（Alfonsi & Bally, 2021），该工作证明了对于光滑测试函数可以实现任意阶的弱逼近。这在一个比著名的Feller条件限制更少的条件下成立。数值结果证实了CIR和Heston模型的收敛性，并显示出显著的计算时间改进。第二项工作将随机网格技术扩展到log-Heston过程。引入了两个二阶方案（一个使用精确波动率模拟，另一个使用在上述相同限制下的Ninomiya-Victoir分裂）。严格证明了收敛到任意阶。数值实验验证了这些方案在欧式和亚式期权定价中的有效性，并表明其可能适用于多因子/粗糙Heston模型。第三项工作研究了与log-Heston模型相关的偏微分方程（PDE）。它扩展了经典解结果，并在不依赖Feller条件的情况下建立了粘性解的存在性和唯一性。即使对于某些不连续的初始数据（与数字期权等工具定价相关），也证明了唯一性。此外，在初始数据具有松弛正则性（连续性）的条件下，证明了混合数值方案收敛到粘性解。附录中包含了CIR过程的补充结果。