通过 Carathéodory 定理的近似版本近似 Nash 均衡与稠密子图

我们提出了 Carathéodory 定理近似版本的算法应用。该定理指出，给定 $\mathbb{R}^d$ 中的一个向量集 $X$，对于 $X$ 的凸包中的每一个向量，都存在一个 $\varepsilon$-接近（在 $p$-范数距离下，其中 $2\leq p < \infty$）的向量，该向量可以表示为 $X$ 中至多 $b$ 个向量的凸组合，其中界限 $b$ 依赖于 $\varepsilon$ 和范数 $p$，且与维度 $d$ 无关。该定理可以通过实例化 Maurey 引理推导得出，Pisier (1981) 和 Carl (1985) 的工作中可以找到对该引理的早期引用。然而，在本文中我们给出了该结果的自包含证明。利用该定理，我们证明了在具有 $n \times n$ 收益矩阵 $A, B$ 的双矩阵博弈中，如果 $A+B$ 的任一列中非零项的数量至多为 $s$，则可以在 $n^{O\left(\frac{\log s}{\varepsilon^2}\right)}$ 时间内计算出该博弈的一个 $\varepsilon$-Nash 均衡。特别地，这为具有固定列稀疏度 $s$ 的博弈中的 Nash 均衡提供了多项式时间近似方案。此外，对于任意双矩阵博弈——由于 $s$ 至多为 $n$——我们算法的运行时间与已知最佳上界相匹配，该上界由 Lipton、Markakis 和 Mehta (2003) 得出。近似的 Carathéodory 定理还导出了归一化最密 $k$-子图问题的加性近似算法。给定一个具有 $n$ 个顶点且最大度为 $d$ 的图，所开发的算法能在 $n^{O\left(\frac{\log d}{\varepsilon^2}\right)}$ 时间内确定一个恰好具有 $k$ 个顶点的子图，其归一化密度在加性意义上最优值的 $\varepsilon$ 范围内。此外，我们证明了对于寻找具有最大归一化密度的 $k \times k$ 二部子图的问题，也可以实现类似的近似结果。