通过收益查询寻找双矩阵博弈的近似 Nash 均衡

我们研究了在双矩阵博弈中寻找近似均衡的确定性与随机化查询复杂度。我们证明，当$\epsilon < \frac{1}{2}$时，寻找$\epsilon$-Nash 均衡的确定性查询复杂度为$\Omega(k^2)$，即使在 0-1 常和博弈中也是如此。结合先前结果\cite{FGGS13}，这提供了近似 Nash 均衡确定性查询复杂度的完整刻画。我们还研究了随机化查询算法。我们给出了一种随机化算法，利用$O(\frac{k \cdot \log k}{\epsilon^2})$次收益查询即可找到$(\frac{3 - \sqrt{5}}{2} + \epsilon)$-Nash 均衡，这表明随机化可以突破确定性算法的$\frac{1}{2}$壁垒。对于强支撑 Nash 均衡（WSNE），我们首先给出一种随机化算法，利用$O(\frac{k \cdot \log k}{\epsilon^4})$次收益查询即可找到 0-1 双矩阵博弈的$\epsilon$-WSNE；随后利用该算法，在一般双矩阵博弈中以$O(\frac{k \cdot \log k}{\epsilon^4})$次收益查询找到$(\frac{2}{3} + \epsilon)$-WSNE。最后，我们通过证明即使在 0-1 常和博弈中，随机化算法也需要$\Omega(k^2)$次收益查询才能找到$\frac{1}{6k}$-Nash 均衡，从而开启了双矩阵博弈背景下针对随机化算法的下界研究。特别是，这排除了存在查询高效的随机化算法以寻找精确 Nash 均衡的可能性。