近似交叉双集族的最小代价边覆盖

若 $V$ 的子集的有序对 $\hat{S}=(S,S^+)$ 满足 $S \subseteq S^+$，则称其为{\em 双集}；$(V-S^+,V-S)$ 是 $\hat{S}$ 的余双集。若 $X \cap Y \neq \emptyset$，则两个双集 $\hat{X},\hat{Y}$ 相交；若 $X \cap Y \neq \emptyset$ 且 $X^+ \cup Y^+ \neq V$，则它们交叉。两个双集 $\hat{X},\hat{Y}$ 的交与并定义为 $\hat{X} \cap \hat{Y} = (X \cap Y, X^+ \cap Y^+)$ 和 $\hat{X} \cup \hat{Y} = (X \cup Y,X^+ \cup Y^+)$。若对于 ${\cal F}$ 中任意交叉（相交）的 $\hat{X},\hat{Y} \in {\cal F}$，均有 $\hat{X} \cap \hat{Y}, \hat{X} \cup \hat{Y} \in {\cal F}$，则称双集族 ${\cal F}$ 是交叉（相交）的。若一条有向边从 $S$ 指向 $V-S^+$，则称其覆盖双集 $\hat{S}$。我们研究用最小代价的有向边集覆盖交叉双集族 ${\cal F}$ 的问题。虽然对于相交的 ${\cal F}$，标准的原始 - 对偶算法可计算最优解，但交叉 ${\cal F}$ 情形的可近似性尚未被完全理解，因为它包含若干 NP 难问题，而这些问题直到最近才被发现具有多对数近似比。若对于 ${\cal F}$ 中任意满足 $|V-(X \cup Y)| \geq k+1$ 且相交的 $\hat{X},\hat{Y} \in {\cal F}$，均有 $\hat{X} \cap \hat{Y}, \hat{X} \cup \hat{Y} \in {\cal F}$，则称双集族 ${\cal F}$ 是 $k$-正则的。在本文中，我们针对任意交叉 ${\cal F}$ 获得了 $O(\log |V|)$-近似算法；若此外 ${\cal F}$ 及其余双集族均为 $k$-正则，则我们的近似比为：当对所有 $\hat{S} \in {\cal F}$ 有 $|S^+ \setminus S|=k$ 时为 $O(\log \frac{|V|}{|V|-k})$，当对所有 $\hat{S} \in {\cal F}$ 有 $|S^+ \setminus S| \leq k$ 时为 $O(\frac{|V|}{|V|-k} \log \frac{|V|}{|V|-k})$。利用这些通用算法，我们推导出了若干网络设计问题的近似算法。