$l_2$ 下 $c>\sqrt{\log\log{n}}$ 时无误报的近似最近邻搜索

在本文中，我们报告了 Pagh~[14] 提出的开放性问题的研究进展，他考虑了汉明距离下无误报的最近邻搜索。我们展示了新的数据结构，用于求解欧几里得高维空间 $\mathcal{R}^d$ 下无误报的 $c$-近似最近邻问题。这些数据结构适用于任意 $c = \omega(\sqrt{\log{\log{n}}})$，其中 $n$ 为输入集中的点数，具有对数多项式查询时间和多项式预处理时间。这改进了已知算法，后者要求 $c$ 为 $\Omega(\sqrt{d})$。此改进是通过应用一系列归约得到的，这些归约本身也很有意义。首先，我们将问题归约为 $d$ 个维度为 $n$ 的对数的实例。接着，这些实例被归约为若干个在配备了度量 $m(x,y) = \max_{1 \le i \le L}(\lVert x_i - y_i\rVert_2)$ 的 $\big(\mathbb{R}^k\big)^L$ 空间中的 $c$-近似最近邻搜索实例。