蚜虫、蚂蚁与瓢虫：预测其种群动态的数学模型

蚜虫、蚂蚁与瓢虫之间的相互作用从生态学角度已被研究数十年，但尚未有从数学角度对其进行描述的尝试。本文引入一个新的数学模型，通过一组四个微分方程来描述由蚜虫、蚂蚁和瓢虫组成的系统在一个生态斑块内的季节内种群动态。所提模型基于 Kindlmann 和 Dixon 的微分方程集，侧重于预测具有捕食者-猎物关系的蚜虫-瓢虫种群密度。与蚜虫互利共生、与瓢虫种间竞争的蚂蚁种群，依据 Holland 和 De Angelis 的数学模型描述，后者以一般性术语处理了互利相互作用问题。此处提出的微分方程组通过 Nonstandard Finite Difference 格式离散化，该格式已由 Gabbriellini 成功应用于互利模型。所构造的有限差分格式保持正性，并具有四个非双曲稳态，如相空间和时间序列分析所突显。我们特别关注从生态学角度最有趣的稳态，其渐近稳定性通过中心流形理论得以证明。该模型可从数值上确认互利关系确实影响种群动态，提高了蚜虫和蚂蚁种群密度的峰值。尽管如此，研究表明蚜虫和瓢虫的渐近种群在任何初始条件下都会崩溃，而蚂蚁种群在峰值后趋于一个恒定的渐近值。