任何群度量不变的内运算都是下卷积

在本文中，我们对下卷积运算 $\oplus$ 的概念提供了新的见解，并为 \cite{Ba1} 和 \cite{Ba2} 中开始的工作补充了信息。结果表明，任何群度量不变的内运算（甚至是拟群运算）都可以被视为下卷积。因此，群度量不变上函数的下卷积运算实际上是 $X$ 的内运算到 $X$ 上函数空间的扩展。我们给出了下卷积结构的一个幺半群 $(S(X),\oplus)$ 示例（它在所有有下界的 1-Lipschitz 函数集中是稠密的），对于该示例，映射 $\arg\min : (S(X),\oplus) \rightarrow (X,.)$ 是一个（单值）幺半群同态。还证明了，给定一个完备度量不变群 $(X,d)$，所有从 $X$ 到 $\R$ 的 Katetov 映射配备下卷积构成的完备度量空间 $(\mathcal{K}(X),d_{\infty})$ 具有自然的幺半群结构，这导出了以下事实：幺半群 $\mathcal{K}(X)$ 的所有等距自同构群 $Aut_{Iso}(\mathcal{K}(X))$ 同构于群 $X$ 的所有等距自同构群 $Aut_{Iso}(X)$。另一方面，我们证明了 Banach 空间 $X$ 上凸函数构成的 $\mathcal{K}(X)$ 的子集 $\mathcal{K}_C(X)$ 可以赋予凸锥结构，其中 $X$ 作为 Banach 空间等距嵌入。