反集中性与子集和个数

设 $\vec{w} = (w_1,\dots, w_n) \in \mathbb{R}^{n}$。我们证明对任意 $n^{-2}\le\epsilon\le 1$,若对某个 $\tau \in \mathbb{R}$ 有 $$\#\{\vec{\xi} \in \{0,1\}^{n}: \langle \vec{\xi}, \vec{w} \rangle = \tau\} \ge 2^{-\epsilon n}\cdot 2^{n}$$ 则 $$\#\{\langle \vec{\xi}, \vec{w} \rangle : \vec{\xi} \in \{0,1\}^{n}\} \le 2^{O(\sqrt{\epsilon}n)}.$$ 这指数级地改进了 Nederlof、Pawlewicz、Swennenhuis 和 W\k{e}grzycki 近期结果中对 $\epsilon$ 的依赖,并使得装箱问题(按箱子数参数化)的运行时间获得类似改进。