图与树之积的反范德瓦尔登数

给定图 $G$，$G$ 的一个精确 $r$-染色是一个满射函数 $c:V(G) \to [1,\dots,r]$。$G$ 中公差为 $d$、长度为 $j$ 的等差数列是一组顶点 $\{v_1,\dots, v_j\}$，满足对 $1\le i < j$ 有 $dist(v_i,v_{i+1}) = d$。若所有顶点颜色互异，则该等差数列为彩虹等差数列。保证存在长度为三的彩虹等差数列所需的最少颜色数称为 $G$ 的反范德瓦尔登数，记作 $aw(G,3)$。已知 $3 \le aw(G\square H,3) \le 4$。本文对某些树 $T$ 与 $T'$ 确定了精确值 $aw(T\square T',3)$，对某些树 $T$ 确定了 $aw(G\square T,3)$，并对某些图 $G$ 与 $H$ 确定了 $aw(G\square H,3)$。