线性分子链中布洛赫函数的分析结构

本文研究形态为 $H=-{\bf \nabla}^2+v(\rr)$，其中势函数 $v(\rr)$ 沿 $z$ 方向为周期函数，即 $v(x,y,z+b)=v(x,y,z)$ 的哈姆顿量。该系统的波函数为众所周知的布洛赫函数 $\psi_{n,\lambda}(\rr)$，具有基本性质 $\psi_{n,\lambda}(x,y,z+b)=\lambda \psi_{n,\lambda}(x,y,z)$ 以及 $\partial_z\psi_{n,\lambda}(x,y,z+b)=\lambda \partial_z\psi_{n,\lambda}(x,y,z)$。我们给出 $\psi_{n,\lambda}(\rr)$ 及其相应能量 $E_n(\lambda)$ 相对于 $\lambda$ 的普遍分析结构（即黎曼面）。我们证明 $E_n(\lambda)$ 与 $\psi_{n,\lambda}(x,y,z)$ 是两个多值解析函数 $E(\lambda)$ 与 $\psi_\lambda(x,y,z)$ 的不同分支，它们在 $\lambda=0$ 处具有必然奇点，并存在额外的分支点，通常分别为阶数1与3。我们阐明了这些分支点来源、随势函数变化时的运动方式，以及其位置估计方法。基于这些结果，我们给出两个应用：Green函数的紧凑表达式以及绝缘分子链密度矩阵渐近行为的讨论。