复化随机非线性泊松-玻尔兹曼方程强解解析正则性的研究

半线性椭圆型偏微分方程（PDEs），如非线性泊松-玻尔兹曼方程（nPBE），在计算生物学和化学的非线性静电学中具有高度相关性。它对于模拟溶剂或等离子体中含有随机涨落的分子势场尤为重要。其广泛应用还包括凝聚态与固体物理、化学物理、电化学、生物化学、热力学、统计力学和材料科学等领域。本文研究了半线性椭圆型偏微分方程关于区域上随机涨落的复解析性质。我们首先证明了在 $\mathbb{R}^3$ 中有界域上 nPBE 的存在性与唯一性。该证明依赖于压缩映射推理的应用，因为确定性 nPBE 的标准凸优化论证不再适用。利用存在性与唯一性结果，我们随后证明了 nPBE 的解关于随机变量个数在复超平面上的明确区域内允许解析延拓。由于该解析延拓，稀疏网格的随机配置理论预测了关于节点数的代数到次指数收敛速率。一系列稀疏网格数值实验与该预测及解析性结果一致。最后，该方法可轻易推广到一类广泛的半线性椭圆型偏微分方程。