Ward 方法分析

我们研究用于层次 $k$-means 问题的 Ward 方法。这一流行的贪心启发式基于\emph{完全连接}范式：从所有数据点作为单点簇开始，它依次合并两个簇以形成少一个簇的聚类。所选簇对用于在下一步中（局部）最小化聚类的 $k$-means 代价。完全连接算法在层次聚类问题中非常流行，但其理论性质研究相对较少。对于欧氏 $k$-center 问题，Ackermann 等人证明由完全连接计算的层次中的 $k$-聚类具有 $\Theta(\log k)$ 的最坏情况近似比。若数据位于常数维 $d$ 的 $\mathbb{R}^d$ 中，保证提升至 $\mathcal{O}(1)$，但 $\mathcal{O}$ 记号隐藏了对 $d$ 的线性依赖。用于 $k$-median 或 $k$-means 的完全连接此前未被分析。本文中，我们证明若最优 $k$-聚类良好分离，则 Ward 方法就 $k$-means 目标函数计算出 $2$-近似。若此外最优聚类还满足平衡条件，则 Ward 方法完全恢复最优解。这些结果在任意维度成立。我们以在 $\mathbb{R}^d$ 中数据集上若无分离保证则 $\Omega((3/2)^d)$ 的下界，以及当保证分离不够强时的下界，辅以我们的正面结果。最后，我们证明 Ward 对一维数据集产生 $\mathcal{O}(1)$-近似聚类。