基于牛顿力学与向量几何的三粒子弹性碰撞分析

我们研究了在真空中进行的三点质量沿直线的一维弹性碰撞问题，且不存在三体碰撞。我们以矩阵形式表达动量守恒，并分析复合映射 $D=D_{BC}D_{AB}$ 及其幂 $D^k$，这些映射会给出任意初始数据和质量比例下任意指定碰撞次数后的速度。随后，我们在平面 $s^\perp$ 上的向量 $u$ 上进行分析，推导出碰撞总数的表达式：\n$$n\;=\;1+\Big\lfloor\tfrac{\Omega-\phi_{BC}}{\theta}\Big\rfloor+\Big\lceil\tfrac{\Omega-\phi_{BC}}{\theta}\Big\rceil,$$ 通过这一概念，我们认识到 $D$ 实际上为向量 $u$ 赋予一个角度 $\theta$ 的旋转，而该角度仅由质量比例决定。我们计算了碰撞中的能量传递。通过本工作，我们发现能量的变化与两个粒子的总动量以及基于初始平均速度在A和B碰撞前的平均速度成正比。