Lorentz 群的 Peter-Weyl 展开类似形式

将 $SL(2,C)$ 上的平方可积函数展开为具有特定选取表示参数的主序列矩阵系数之和，近期已被用于 Loop Quantum Gravity $\cite{RovelliBook2}$, $\cite{Rovelli2010}$。本文证明和式 $\sum\limits_{j=1}^{\infty}\sum\limits_{|m| \le j}\sum\limits_{|n| \le j} \frac{D^{(j, \tau j)}_{jm, jn}(g)}{j^k}$（其中 $j, m, n \in Z, \tau \in C$）收敛于 $SL(2,C)$ 上的一个平方可积函数。我们还证明，对于每个固定的 m：$\sum\limits_{j=1}^{\infty}\frac{D^{(j, \tau j)}_{jm, jm}(g)}{j^k}$ 均收敛，且其极限为 $SL(2,C)$ 上的平方可积函数。进而，我们证明和式 $\sum\limits_{j=|p|}^{\infty}\sum\limits_{|m| \le j}\sum\limits_{|n| \le j} d^{\frac{j}{2}}_{pm} D^{(j, \tau j)}_{jm, jn}(g)$ 的收敛性，其中 $d^{\frac{j}{2}}_{|p|m} = (j+1)^{\frac{1}{2}}\int\limits_{SU(2)}\phi(u)\overline{ D^{\frac{j}{2}}_{|p|m}(u)} \; du \;$ 是 $\phi(u)$ 的 Fourier 变换，且 $p, j, m, n \in Z, \tau \in C, u \in SU(2), g \in SL(2,C)$，从而建立了 $SU(2)$ 上平方可积函数与 $SL(2,C)$ 上函数空间之间的映射。此类映射最早在 $\cite{RovelliBook2}$ 中被使用。