Harer-Zagier 公式的一个交理论证明

我们给出了光滑曲线模空间欧拉示性数的一个交理论公式。该公式完全用 Hodge 积分表述，并且作为推论，利用 tautological 类的标准微积分可得到 Harer-Zagier 公式的一个新的简短证明。我们的结果基于 Gauss-Bonnet 公式，以及如下观察：对 $\Omega$-类（即扭曲对数典范丛的泛 $r$ 次根的上同调类）的某种参数化给出了光滑曲线模空间的对数切丛的 Chern 类。由于 $\Omega$-类如今被用于许多计数问题，且近来发现的这些问题彼此大多迥异，我们投入一定工作给出了其一般性质的详尽列表：拓展已有的性质、发现新的性质，并写下一些仅为专家所知的结论。