Kruskal-Macaulay函数的一个不等式

给定整数$k\geq1$和$n\geq0$，存在唯一的方式将$n$表示为$n=\binom{n_{k}}{k}+\binom{n_{k-1}}{k-1}+...+\binom{n_{1}}{1}$，使得$0\leq n_{1}<...<n_{k-1}<n_{k}$。利用此表示，$n$的\emph{Kruskal-Macaulay函数}定义为\partial^{k}(n) =\binom{n_{k}-1}{k-1}+\binom{n_{k-1}-1}{k-2}+...+\binom{n_{1}-1}% {0}. 我们证明，若$a\geq0$且$a<\partial^{k+1}(n)$，则$\partial^{k}(a) +\partial^{k+1}(n-a) \geq \partial^{k+1}(n) .$ 作为推论，我们得到了Macaulay定理的一个简短证明。其他已知结果也作为直接推论得到。