分数阶 Ginzburg-Landau 方程的隐式中点差分格式

本文提出并分析了一种用于含分数阶拉普拉斯算子的非线性复 Ginzburg-Landau 方程的高效差分格式。该格式基于时间离散的隐式中点法，以及空间分数阶拉普拉斯算子的加权移位 Grünwald 差分算子。借助对该差分算子的细致分析，建立了关于合适分数阶 Sobolev 范数的一些有用不等式。然后证明了数值解有界，且在 $l^2_h$ 范数下以最优阶 $O(\tau^2+h^2)$ 收敛，其中时间步长为 $\tau$，网格大小为 $h$。先验界以及收敛阶是无条件成立的，即在意义上无需假设时间步 $\tau$ 相对于网格大小 $h$ 的限制。进行了数值试验以验证理论结果及格式的有效性。