一个以紧算子扩张紧算子且无非平凡乘子的扩张

我们构造了 $\mathcal K(\ell_2({\mathfrak{c}}))$ 被 $\mathcal K(\ell_2)$ 的一个本质扩张，其中 ${\mathfrak{c}}$ 表示连续统的势，即一个 $C^*$-代数 $\mathcal A\subseteq \mathcal B(\ell_2)$ 满足短正合序列 $$0\rightarrow \mathcal K(\ell_2)\xrightarrow{\iota} \mathcal A \rightarrow\mathcal K(\ell_2({\mathfrak{c}}))\rightarrow 0,$$ 其中 $\iota[\mathcal K(\ell_2)]$ 是 $\mathcal A$ 的一个本质理想，使得 $\mathcal A$ 的乘子代数 $\mathcal M(\mathcal A)$ 等于 $\mathcal A$ 的单点化。特别地，$\mathcal A$ 不是稳定的，这阐明了非可分情形下稳定性的永久性质。即，一个非可分紧算子代数的扩张，即使是由 $\mathcal K(\ell_2)$ 扩张，也不必是稳定的。这一构造可被视为 Mr\'owka $\Psi$-空间的非交换版本；该空间的一点紧化等于其 Cech-Stone 紧化，且由 ${\mathbb{N}}$ 的一个特殊的不可数几乎不相交子集族诱导。几乎不相交族的角色由 $\mathcal B(\ell_2)$ 中的一个几乎正交投影族扮演，但对应于 $\mathcal K(\ell_2({\mathfrak{c}}))$ 中矩阵单元的几乎矩阵单元必须格外小心地构造。这个例子未来也可能有助于我们理解目前尚未探索的半群 $Ext(\mathcal K(\ell_2({\kappa})))$（其中 $\omega_1\leq \kappa\leq\mathfrak{c}$）。