集合多宇宙的公理化方法

集合论近期的研究表明存在许多不同的“集合”概念，每一个都由不同的公理集合所刻画，正如 J. Hamkins 在 [Ham11] 中所提出的。在本文中，我们力求给出一种类理论，它允许同时考量所有集合论宇宙及其相互关系，从而在进行力迫等构造时无需诉诸“理论之外”。我们还探讨了多宇宙范畴论，表明在此理论中我们最终摆脱了范畴化过程中每一阶段关于“大性”的疑问——对于给定的宇宙我们所考量的范畴之范畴包含了该宇宙中的所有大范畴，而无需诉诸更大的宇宙。我们利用这一新获得的自由定义了范畴 ${\bf Force}$，其对象为宇宙、态射为力迫扩张；定义了 $2$-范畴 $\mathcal{V}\mathfrak{erse}$，其对象为每个宇宙中集合的范畴，其分量范畴由这些集合范畴之间的函子范畴给出；以及定义了三范畴 $\mathbb{Cat}$，其对象为每个宇宙中范畴的 $2$-范畴，其分量双范畴由这些宇宙中范畴的 $2$-范畴之间的伪函子、伪自然变换与修正双范畴给出。