一个算术定理及其证明

译自拉丁文原文“Theorema arithmeticum eiusque demonstratio”，载于 Commentationes arithmeticae collectae 2 (1849), 588-592，即 Enestroem 索引中的 E794。对于 m 个不同的数 a,b,c,d,...,\upsilon,x，本文计算了 $$\frac{a^n}{(a-b)(a-c)(a-d)...(a-x)}+\frac{b^n}{(b-a)(b-c)(b-d)...(b-x)} +...+\frac{x^n}{(x-a)(x-b)(x-c)...(x-\upsilon)}.$$ 当 $n \leq m-2$ 时，和为 0，欧拉已在《Institutiones calculi integralis》第一卷 E366 的第 1169 节中给出此结果。当 $n=m-1$ 时，和为 $=1$。当 $n \geq m$ 时，欧拉利用牛顿恒等式得到了用数 a,b,c,d,...,\upsilon,x 的幂和表示的表达式。本文所用的记号混乱，全集 Opera omnia 的编辑们 indeed 对原发表稿作了若干校正。在文末，“……对它们中的每一个，人们去探寻该字符将是什么……”是我能给出的该句唯一读法。引用此定理的著作例子有：J.-P. Serre, Corps locaux, 2nd ed., ch. III, sect. 6（对应 $n \leq m-1$），以及 D. E. Knuth, The Art of Computer Programming, vol. 1, sect. 1.2.3, exercise 33。