最优控制理论在 R-Tipping 中的应用

应用最优控制理论得到了速度 $|\dot{\lambda}(t)|$ 的一个下界，任何诱导渐近自治标量 ODE $\dot{x} = f(x+\lambda(t))$ 发生 tipping 的外部强迫函数都至少必须达到该速度一次。此临界速度的值取决于强迫的总弧长 $\int_{-\infty}^{\infty} |\dot{\lambda}(t)| dt$，并可被解释为与每个给定弧长相关联的安全阈值速率，使得如果强迫的速度处处低于此值，则 tipping 不可能发生。该界是紧的，即存在一个强迫函数（连续但不光滑），它诱导 tipping，具有所需的弧长，且从未超过阈值速度。此外，阈值速度是弧长的严格递减函数，从而刻画了最小扰动的速度与幅度之间决定 tipping 的抽象权衡。