几乎单色集与平面的色数

在 $\mathbb{R}^d$ 的着色中，若 $S\subseteq \mathbb{R}^d$ 且 $s_0\in S$，则偶对 $(S,s_0)$ 称为\emph{几乎单色}的，如果 $S\setminus \{s_0\}$ 是单色的但 $S$ 不是。我们考虑在一些对着色有限制的条件下，在 $\mathbb{R}^d$、$\mathbb{Z}^d$ 和 $\mathbb{Q}$ 的着色中寻找 $(S,s_0)$ 的几乎单色相似拷贝的问题。在其他结果中，我们刻画了那些 $S\subseteq \mathbb{Z}$ 的 $(S,s_0)$，使得 $\mathbb{R}$ 的每种不含无穷单色算术级数的有限着色都包含 $(S,s_0)$ 的几乎单色相似拷贝。我们还证明，若 $S\subseteq \mathbb{Z}^d$ 且 $s_0$ 在 $S\setminus \{s_0\}$ 的凸包之外，则 $\mathbb{R}^d$ 的每种不含 $\mathbb{Z}^d$ 的单色相似拷贝的有限着色都包含 $(S,s_0)$ 的几乎单色相似拷贝。此外，我们提出一种寻找几乎单色集的方法，可能导向 $\chi(\R^2)\geq 5$ 的非计算机辅助证明。