高斯-PDMF 空间的代数结构及其在模糊方程中的应用

本文通过建立高斯概率密度隶属函数（Gaussian-PDMF）空间的代数结构，扩展了 [Wang and Zheng, Fuzzy Sets and Systems, p108581, 2023] 中的研究。我们考虑固定的客观与主观实体，记为 $(h,p)$，并给出隶属函数的显式形式。因此，$X_{h,p}(\mathbb{R})$ 中每个隶属函数为高斯-PDMF 的模糊数 $\tilde{x}$ 均可由一个向量 $\langle x; d^-, d^+, \mu^-,\mu^+\rangle$ 唯一标识。其中 $x\in \mathbb{R}$ 表示模糊数 $\tilde{x}$ 的“主导因子”，其隶属度等于 $1$。参数 $d^-$（左侧）和 $d^+$（右侧）表示紧支撑的长度，而 $\mu^-$（左侧）和 $\mu^+$（右侧）表示形状。我们引入五种运算：加法、减法、乘法、标量乘法与除法。我们证明，基于我们的定义，高斯-PDMF 空间展现出良定义的代数结构。例如，$X_{h,p}(\mathbb{R})$ 是 $\mathbb{R}$ 上的向量空间，包含一个构成除环的子空间，从而允许表示模糊多项式等性质。我们提供若干例子以说明理论结果。