可容许性即带无穷小的贝叶斯最优性

我们给出了统计决策问题中可容许性的精确刻画，即就所谓原决策问题的非标准扩张而言的贝叶斯最优性，该扩张由 Duanmu 和 Roy 引入。与对不适当先验或其他广义贝叶斯最优性概念的考量不同，这一非标准扩张的独到之处在于其先验可以以借助非标准分析成果可严格化的意义分配“无穷小”质量。借助这些额外的先验，我们发现：非正式地说，原统计决策问题中的决策过程 $\delta_0$ 是可容许的，当且仅当在该问题的非标准扩张中，$\delta_0$ 的非标准扩张相对于一个对每个标准参数值都分配至少无穷小质量的非标准先验，在所有标准决策过程扩张的集合中是贝叶斯最优的。我们利用上述定理给出可容许性的进一步刻画：一个与 Blyth 方法相关，一个与 Stein 在某正则性假设下刻画可容许性的条件相关，最后一个是利用在满足特定正则性要求的决策问题中的有限可加先验进行的刻画。我们的结果意味着 Blyth 方法是一种确立可容许性的可靠且完备的方法。受此结果鼓舞，我们重访单变量两样本公共均值问题，并证明 Graybill–Deal 估计量在一类无偏决策过程中是可容许的。