论扩展容许程序及其非标准贝叶斯风险

对于有限损失下的有限参数空间，由具有满支撑的先验分布导出的每个贝叶斯程序都是容许的，且每个容许程序都是贝叶斯的。一旦我们转向有限维欧几里得参数空间，这种关系便不再成立。紧致性和强正则性条件足以修复这种关系，但如果没有这些条件，容许程序未必是贝叶斯的。在强正则性条件下，可以证明容许程序是贝叶斯程序的极限。在更严格的条件下，它们是广义贝叶斯的，即它们最小化关于非正常先验的贝叶斯风险。在这两种情况下，人们都必须超越贝叶斯分析的严格界限。利用数理逻辑和非标准分析的方法，我们引入了非标准贝叶斯决策程序类——即其关于某先验的贝叶斯风险与最优贝叶斯风险之差在无穷小范围内的程序。在具有有限风险函数的程序中，我们证明一个决策程序是扩展容许的当且仅当其非标准扩展是非标准贝叶斯的。对于在度量参数空间上定义的具有连续风险函数的问题，我们导出了 Blyth 方法的非标准类似物，可用于确立程序的容许性。我们还应用非标准理论导出了一个纯标准定理：当风险函数在紧致 Hausdorff 参数空间上连续时，一个程序是扩展容许的当且仅当它是贝叶斯的。