小类邻接标记方案

图类在给定每个正整数 $n$ 时，其 $n$ 顶点图具有 $O(\log n)$ 位（邻接）标记方案，即其顶点可由长度为 $O(\log n)$ 的二进制字符串标记，使得来自任意顶点对的边的存在可仅从其标记中推断。著名的隐式图猜想（Implicit Graph Conjecture）认为每个 hereditary（即闭合于诱导子图）factorial（即包含 $2^{O(n \log n)}$ 个 $n$ 顶点图）类都可接受隐式表示。该猜想最近被推翻 [Hatami 和 Hatami, FOCS '22]，即使在单调（即闭合于子图）factorial 类中也不成立 [Bonnet 等人，ICALP '24]。然而，单调小类（即包含至多 $n! c^n$ 个 $n$ 顶点图的类，其中 $c$ 为常数）确实可接受隐式表示。这激励 Small Implicit Graph Conjecture：每个 hereditary 小类都可接受 $O(\log n)$ 位标记方案。我们提供支持 Small Implicit Graph Conjecture 的证据。首先，我们展示每个小弱稀疏类（即作为子图排除某个固定的二分完全图）都可接受隐式表示。这是一个独立兴趣事实的 consequence：每个小弱稀疏类具有有界扩张（因此特别是有界退化）。其次，我们展示每个 hereditary 小类可接受 $O(\log^3 n)$ 位标记方案，这是在已知的 $n^{1-\varepsilon}$ 上限的显著改进。这是另一个独立兴趣事实的 consequence：每个小类具有 $O(n \log n)$ 的邻域复杂度。