抽象关键多项式与Mac Lane–Vaquié关键多项式的比较定理

设 $\iota:(K,\nu)\hookrightarrow(K(x),\mu)$ 为赋值域的简单纯超越扩张。为了研究此类扩张，M. Vaquié 推广了 S. Mac Lane 早期的构造，引入了关键多项式的概念。在本文中，我们定义了与 $\iota$ 相关联的**抽象关键多项式**的概念，并研究它们与 Mac Lane–Vaquié 关键多项式之间的关系。对于每个抽象关键多项式 $Q$，我们定义了关于 $Q$ 的 $\mu$ 的截断 $\mu_{Q}$，并研究了这些截断的性质。粗略地说，$\mu_{Q}$ 是由关键多项式 $Q$ 定义的 $\mu$ 的近似。我们还定义了抽象关键多项式 $Q'$ 是另一个抽象关键多项式 $Q$ 的**直接后继**的概念（在此情形下写作 $Q<Q'$）。本文证明的主要比较结果如下：(1)：对于 $\mu$ 的一个抽象关键多项式是截断赋值 $\mu_{Q}$ 的 Mac Lane–Vaquié 关键多项式。(2)：若 $Q<Q'$ 是 $\mu$ 的两个抽象关键多项式，则 $Q'$ 是 $\mu_{Q}$ 的 Mac Lane–Vaquié 关键多项式。(3) 对于 $K[x]$ 中的首一多项式 $Q$ 和 $K(x)$ 的一个赋值 $\mu'$，给出了 $Q$ 为 $\mu'$ 的抽象关键多项式的充分条件。结合 M. Vaquié 此前的一个结果，这描述了一类赋值对 $(\mu,\mu')$，使得 $Q$ 既是 $\mu$ 的 Mac Lane–Vaquié 关键多项式，又是 $\mu'$ 的抽象关键多项式。