自反有向图的绝对收缩核：MacNeille 完备化的作用

我们刻画了自反有向图（即反对称自反图，其中对象间的态射保持弧（弧可被映为环））范畴中的绝对收缩核。在此，我们通过修正早前一次证明的尝试表明，一个自反有向图是绝对收缩核当且仅当它确实是某些（直）自反有向锯齿形图（即自反有向路径的拼接）乘积的收缩核。因此绝对收缩核必然是无环的。与其他图与有序集范畴不同，并非每个无环有向图都能等距嵌入某个绝对收缩核中。嵌入涉及关于构成特定“对偶 quantale”的锯齿形距离等距，该 quantale 是字母表 $\{+, -\}$ 上某些词集的完全格，赋予额外的幺半群运算（即词集的复合拼接）和对合（交换 $+$ 与 $-$ 然后镜像词）。由于自反有向锯齿形图具有 MacNeille 闭距离，其乘积与收缩核亦如此。因此，自反有向图范畴及其全子范畴自反无环图范畴没有足够的内射对象，因为内射对象与绝对收缩核重合。