通过边翻转单调减少有向 3 环的数目？

我们研究有向图上的组合重构问题，其中重构步骤（边翻转）为单条边方向的反转。与最近发表的猜想相关——该猜想与 directed flag complexes 的马尔可夫链蒙特卡洛抽样正确性密切相关——表明任何简单有向图都存在一条单调减少有向 3 环数至零的翻转序列，且已知完全有向图该猜想成立。我们证明该猜想在一般情况下不成立。作为反证本猜想的主要工具，我们引入 FBD 图概念（fully blocked digraph）。FBD 图是指不包含任何有向 1、2 或 3 环的有向图，且任意边翻转均会生成有向 3 环。我们证明 FBD 图不存在是该猜想成立的必要条件，并成功构造 FBD 图。另一方面，我们表明完全图以及每个边仅 incident 至至多两条三角形的图无法完全被阻塞。除了与上述抽样过程正确性 Determining 相关之外，FBD 概念可能对其他问题也有用，并引出有趣的进一步研究问题。