平面集的 p-弹性能量的 varifold 视角

在适当的正则性假设下，平面集 $E\subset\mathbb{R}^2$ 的 $p$-弹性能量定义为 $\int_{\partial E} 1 + |k_{\partial E}|^p \,\, d\mathcal{H}^1,$ 其中 $k_{\partial E}$ 是边界 $\partial E$ 的曲率。本文采用 varifold 方法研究这一能量，该能量可在带曲率的 varifold 上良好定义。首先，我们展示了研究一维曲率 varifold 的新工具，例如具有有限弹性能量的 varifold 的密度存在性与一致界。然后，我们通过以内在的 varifold 视角扩展正则集的定义，刻画了该能量的一种新的 $L^1$-松弛概念，并将此松弛与经典松弛进行比较。最后，我们讨论了其在图像修复问题中的应用，以及具有有限松弛能量的集的示例与定性性质。