凸体的弹性能量

本文考虑了一个涉及平面凸体面积、周长和弹性能量的 Blaschke-Santaló 图。更确切地说，我们描述了集合 $$\mathcal{E}:=\left\{(x,y)\in \R^2, x=\frac{4\pi A(\Omega)}{P(\Omega)^2},y=\frac{E(\Omega)P(\Omega)}{2\pi^2},\,\Omega\mbox{convex} \right\},$$ 其中 $A$ 是面积，$P$ 是周长，$E$ 是弹性能量，即平面中的一种 Willmore 型能量。为此，我们研究了以下形状优化问题：$$\min_{\Omega\in\mathcal{C}}\{E(\Omega)+\mu A(\Omega)\},$$ 其中 $\mathcal{C}$ 是具有固定周长的凸体类，$\mu\ge 0$ 是一个参数。本文证明了该最小化问题解的存在性、正则性及几何性质。