相互作用多粒子系统自由能的变分公式

我们考虑在 $\mathbb{R}^d$ 中体积为 $N/\rho$ 的盒子内的 $N$ 个玻色子，它们受到相互排斥的配对势的影响。粒子密度 $\rho\in (0,\infty)$ 保持固定。我们的主要结果是确定了在正温度 $1/\beta$ 下的极限自由能 $f(\beta,\rho)$，该自由能通过一个显式的变分公式给出，对于任意固定的 $\rho$（若 $\beta$ 足够小）和任意固定的 $\beta$（若 $\rho$ 足够小）均成立。热力学平衡由 $e^{-\beta {\mathcal{H}}_N}$ 的对称化迹来描述，其中 ${\mathcal{H}}_N$ 表示相应的哈密顿算符。著名的费曼-卡茨公式将该迹重新表述为 $N$ 个相互作用的布朗桥的积分。由于对称化，这些桥被组织成由不同长度的环组成的系综。我们方法的新颖之处在于使用一个标记的泊松点过程来描述，其标记即为这些环。这使得可以通过对平稳经验场进行大偏差分析来对系统进行渐近分析。由此产生的变分公式在随机平移不变标记点场上进行优化，并优化了相互作用与相对于参考过程的相对熵之和。在我们对自由能下界的证明中，我们丢弃了所有涉及“无限长”环的相互作用，而它们可能存在的迹象是变分公式中“有限长”环的质量损失。在上界的证明中，我们只保留了“有限长”环上的质量。我们期望这两个界之间的精确关系是玻色-爱因斯坦凝聚的核心，并打算在未来进一步分析它。