特征 $p$ 局部域中正规基生成元的赋值判据

设 $K$ 为具有完美剩余域的特征 $p$ 完备局部域。设 $L/K$ 为有限、全分歧的 Galois $p$-扩张。若 $\pi_L\in L$ 为素元，且 $p'(x)$ 是 $\pi_L$ 在 $K$ 上的极小多项式的导数，则相对不同理想 $\euD_{L/K}$ 由 $p'(\pi_L)\in L$ 生成。设 $v_L$ 为归一化赋值，满足 $v_L(L)=\mathbb{Z}$。我们证明，任何满足 $v_L(\rho)\equiv -v_L(p'(\pi_L))-1\bmod[L:K]$ 的元素 $\rho\in L$ 均生成一个正规基，即 $K[{Gal}(L/K)]\cdot\rho=L$。该判据是紧致的：对于任意整数 $i$，若 $i\not\equiv -v_L(p'(\pi_L))-1\bmod[L:K]$，则存在 $\rho_i\in L$ 使得 $v_L(\rho_i)=i$ 且 $K[{Gal}(L/K)]\cdot\rho_i\subsetneq L$。