从多项式对齐到 IMQ 距离的通用再生产核希尔伯特空间

我们引入 Yat 核 $$k_{b,\varepsilon}(\mathbf{w},\mathbf{x})=\frac{(\mathbf{w}^\top\mathbf{x}+b)^2}{\|\mathbf{x}-\mathbf{w}\|^2+\varepsilon},\qquad b\ge 0,\ \varepsilon>0,$$ 这是一种具有 Mercer 区间特征的有理隐藏单元，其单元在共享的输入/权重空间上。对于 $b\ge 0$，该核为正半定;对于 $b>0$，它在 Loewner 序中支配缩放的逆多重仪量 (IMQ)，从而产生固定核的普适性、特征性和在每个紧致域上的严格正定性。多项式分子打开了 absent于有限 IMQ 展开中的非径向对齐通道，由方向远场迹 $T_\infty g_\varepsilon(\cdot;\mathbf{w},b)(\mathbf{u})=(\mathbf{u}^\top\mathbf{w})^2$ 所见。从代数上讲，对偏置进行二次有限差分即可从三个正偏置 Yat 原子中精确恢复任何 IMQ 原子，在每个维度的每个原子处均实现精确点等式。训练的共享-$(b,\varepsilon)$ Yat 层因此是固定普适特征 RKHS 中的有限学习中心展开，具有闭形式范数 $\boldsymbol{\alpha}^\top\mathbf{K}\boldsymbol{\alpha}$ 和显式对角线 $(\|\mathbf{x}\|^2+b)^2/\varepsilon$ 驱动 Rademacher 泛化界。