环面棋盘上的一种巡游问题

本文研究一个在研究双嵌入与 Heffter 阵列时遇到的巡游问题，参见 [D.S. Archdeacon, Heffter arrays and biembedding graphs on surfaces, Electron. J. Combin. 22 (2015) #P1.74]。设 $A$ 为一个由填充格与空格组成的 $n\times m$ 环面阵列。假设 $A$ 的每行方向 $R=(r_1,\dots,r_n)$ 与每列方向 $C=(c_1,\dots,c_m)$ 已固定。给定初始填充格 $(i_1,j_1)$，考虑列表 $L_{R,C}=((i_1,j_1),(i_2,j_2),\ldots,(i_k,j_k),$ $(i_{k+1},j_{k+1}),\ldots)$，其中 $j_{k+1}$ 为行 $R_{i_k}$ 中沿方向 $r_{i_k}$ 紧邻 $(i_k,j_k)$ 的填充格 $(i_k,j_{k+1})$ 的列索引，而 $i_{k+1}$ 为列 $C_{j_{k+1}}$ 中沿方向 $c_{j_{k+1}}$ 紧邻 $(i_k,j_{k+1})$ 的填充格的行索引。我们提出如下“疯狂骑士巡游问题”：是否存在 $R$ 与 $C$ 使得列表 $L_{R,C}$ 覆盖 $A$ 的所有填充格？本文给出无空格情形的完整解，并对填充格遵循某些特定正则模式的方阵获得部分结果。