黑箱型问题中高维不确定性量化的无监督学习方法综述

为具有固有高维（$\mathcal{O}(10^{\ge 2})$）随机输入（例如，强迫项、边界条件、初始条件）的复杂偏微分方程构建用于不确定性量化的代理模型，带来了巨大挑战。维度灾难可以通过合适的无监督学习技术作为预处理工具来解决，将输入编码到低维子空间，同时保留其结构信息和有意义的属性。在本工作中，我们回顾并研究了十三种降维方法，包括线性和非线性、谱方法、盲源分离、凸和非凸方法，并利用得到的嵌入通过多项式混沌展开构建到感兴趣量的映射。我们将所提出的通用方法称为流形多项式混沌展开（m-PCE），其中流形对应于任何所研究的降维方法产生的潜在空间。为了研究这些方法的能力和局限性，我们对三个基于物理的系统（视为黑箱）进行了数值测试，这些系统具有不同复杂性的高维随机输入，建模为高斯和非高斯随机场，以研究输入数据固有维度的影响。我们展示了无监督学习方法的优点和局限性，并得出结论：与文献中提出的替代算法（包括最近提出的昂贵的基于深度神经网络的代理模型）相比，合适的 m-PCE 模型提供了一种经济高效的方法，并且可以很容易地应用于随机偏微分方程中的高维不确定性量化。