Heegaard Floer 同调综述

本文有两个目标：一是提供 Heegaard Floer 同调的概念性介绍，二是概述该领域的现状（不追求完备性）。在回顾 Heegaard Floer 同调的结构后，我们列出了其一些最重要的应用；其中许多是纯粹的拓扑结果，并不直接涉及 Heegaard Floer 同调本身。随后，我们简要概述了 Lagrangian 交集 Floer 同调的构造，并将 Heegaard Floer 链复形构建为上述情形的特例，同时试图阐明各种看似特设特征（如容许性、基点的选择以及 Spin^c-结构）的作用。我们还讨论了在同构意义下该同调在所有选择下的不变性证明，以及如何以此方式以函子性（自然性）定义 Heegaard Floer 同调。接下来，我们解释为何 Heegaard Floer 同调是可计算的，以及它如何适用于各种组合描述。最后一章概述了带缝 Floer 同调（sutured Floer homology）的定义与应用，其中包括一些关键证明的概要。全文中，我们尝试收集了该领域一些重要的开放猜想；例如，其中两个猜想的肯定回答将提供 Poincaré 猜想的新证明。