Rankin-Selberg 单的求和公式与非交换迹公式

设 $F$ 为数域，$\mathbb{A}_F$ 为其 adele 环。设 $B$ 为 $F$ 上的四元数代数，$\nu:B \to F$ 为约化范数。考虑 $F$ 上的约化单 $M$，其在 $F$-代数 $R$ 中的点由下式给出：\begin{align*} M(R):=\{(\gamma_1,\gamma_2) \in (B \otimes_F R)^{2}:\nu (\gamma_1)=\nu(\gamma_2)\}. \end{align*} 受 Braverman 和 Kazhdan 一项具有影响力的猜想启发，我们证明了针对单上某些函数空间的、类似于 Poisson 求和公式的求和公式。作为应用，我们为 Rankin-Selberg $L$-函数定义了新的 zeta 积分并证明了其基本性质。我们还利用该公式证明了一个非交换扭曲迹公式，即其谱侧由 $M$ 的单位群的自守表示给出的迹公式，这些表示在同构意义下（相差一个特征的扭曲）等于其在某个简单非交换 Galois 群下的共轭。