面向抛物型偏微分方程的结构保持框架
机器学习
2025-08-08 v2 数值分析
数值分析
摘要
使用神经网络求解偏微分方程（PDE）在科学和工程领域展现出巨大潜力。然而，大多数现有神经网络求解器主要关注在强形式或弱形式下满足给定的PDE公式，未能显式考虑如质量、动量守恒或能量耗散等某些内在物理属性。这一限制可能导致非物理或不稳定的数值解，尤其是在长期仿真中。为此，我们提出了名为"Sidecar"的新型框架，以增强现有神经网络求解器求解抛物型PDE的物理一致性。灵感来自时序谱重整形方法，我们的Sidecar框架引入一个小型网络作为副驾驶，引导主函数学习神经网络求解器遵守结构保持属性。该框架高度灵活，可将不同PDE的各种物理量保持属性纳入广泛的神经网络求解器中。在一些基准问题上的实验结果表明，所提框架显著提升了现有神经网络求解器的准确性和结构保持性能。
引用
@article{arxiv.2504.10273,
title = {A Structure-Preserving Framework for Solving Parabolic Partial Differential Equations with Neural Networks},
author = {Gaohang Chen and Lili Ju and Zhonghua Qiao},
journal= {arXiv preprint arXiv:2504.10273},
year = {2025}
}