缓解近不可压缩弹性问题协调有限元中闭锁现象的简单修正

由于散度不稳定性，低阶协调有限元方法（FEM）在求解近不可压缩弹性方程时的精度会随着Lamé参数$\lambda\to\infty$（或等效地，泊松比$\nu\to1/2$）而恶化。这种效应被称为闭锁或非鲁棒性。对于分片线性情况，标准Galerkin协调FEM在${\bf L}^2$范数下的误差以$C\lambda h^2$为界，导致如果$\lambda$足够大，对于实际值$h$的精度很差。在这篇短文中，我们表明，通过在刚度矩阵中用$\lambda_h=\lambda\mu/(\mu+\lambda h/L)<\lambda$替换$\lambda$，可以减轻闭锁现象，其中$\mu$是第二个Lamé参数，$L$是物体$\Omega$的直径。我们证明，通过这种修正，${\bf L}^2$范数下的误差以$Ch$为界，其中常数$C$不依赖于$\lambda$。数值实验证实了这种收敛行为，并表明对于实际网格，如果$\lambda$大于约$\mu L/h$，我们的方法比标准方法更精确。我们的分析还表明，${\bf H}^1$范数下的误差以$C\lambda_h^{1/2}\,h$为界，这改进了协调FEM情况下的$C\lambda^{1/2}\,h$估计。