拓扑递归中 x-y 辛变换的一个简单公式

设 $W_{g,n}$ 为拓扑递归对给定谱曲线 $(x,y)$ 计算的相关器，$W^\vee_{g,n}$ 为对 $(y,x)$（即 $x,y$ 角色互换）的计算结果。这两组相关器 $W_{g,n}$ 与 $W^\vee_{g,n}$ 由 $x$-$y$ 辛变换相联系。Bychkov、Dunin-Barkowski、Kazarian 与 Shadrin 计算了两组略有差异的相关器间的函数关系。他们与 Alexandrov 共同证明该函数关系确为拓扑递归中的 $x$-$y$ 辛变换。本文借助其定理，对具简单且互异分支点的亚纯 $x$ 与 $y$，给出 $W_{g,n}$ 与 $W^\vee_{g,n}$ 之间相当简单的直接公式。由于自由概率与全简单映射 vs 普通映射间新近联系，我们得出矩与高阶自由累积量简化的矩-累积量关系。