密度平方积分的简单自适应估计量

给定来自具有共同有界密度$f_0$的独立同分布样本$X_1,...,X_n$，其中$f_0$属于实线上阶数为$\alpha$的 Sobolev 空间，本文考虑了二次泛函$\int_{\mathbb{R}}f_0^2(x) \mathrm{d}x$的估计问题。研究表明，最简单的基于核的插件估计量$$\frac{2}{n(n-1)h_n}\sum_{1\leq i<j\leq n}K\biggl(\frac{X_i-X_j}{h_n}\biggr)$$在$\alpha>1/4$时是渐近有效的，而在$\alpha\le1/4$时是速率最优的。随后提出了一种数据驱动的规则来选择带宽$h_n$，该规则不依赖于对$\alpha$的先验知识，使得相应的估计量在$\alpha \leq1/4$时具有速率自适应性，而在$\alpha>1/4$时是渐近有效的。