$\mathbb{N}$ 上的一系列级数拓扑

每个实正项级数 $\sum_{n=1}^\infty a_n$ 都可通过如下方式在 $\mathbb{N} = \{1,2,3,...\}$ 上诱导出一个拓扑：声明真子集 $A\subseteq \mathbb{N}$ 为闭集当且仅当 $\sum_{n\in A} a_n < \infty$。我们探究该级数的分析性质与 $\mathbb{N}$ 上拓扑性质之间的关系。特别地，我们证明在同胚意义下可生成 $|\mathbb{R}|$ 多个拓扑。我们还找到一个不可数族例子 $\{\mathbb{N}_\alpha\}_{\alpha \in [0,1]}$，具有如下性质：对任意 $\alpha < \beta$，存在连续双射 $\mathbb{N}_\beta\rightarrow \mathbb{N}_\alpha$，但从 $\mathbb{N}_\alpha$ 到 $\mathbb{N}_\beta$ 的连续函数只有常值函数。